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初中数学培优 八年级下 第12讲 矩形 勾股定理和轴对称解题关键

【人教版八年级下册期中考试知识点汇总】☞...
三年级:美妙数学之“分类数图形”(1217三)
中考数学特殊平行四边形专题训练

中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况,即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学,因此难度下降很大,属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降,因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生,她在初中排在年级前20名(年级总共500多学生),但是进入高中后感觉非常吃力,跟不上进度。和她交流后我一句话概括,现在的初中数学要求太低,难度太低。

本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题,难度高于中考的平均程度,差不多是重点高中的自招难度。

系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

头条上的图文显示不太好,购买专栏的可以加Q好友(8627437),进群下载。第十二讲 矩形

一、知识框图

二、重点难点分析

1. 矩形是特殊的平行四边形,在平行四边形的基础上增加了有一个用是直角这一条件,因此平行四边形的一切性质矩形都具备,矩形的性质:边:对边平行且相等;角:对角相等、邻角互补,四个角都是直角;对角线:对角线相等、对角线互相平分;对称性:中心对称图形、轴对称图形。

2. 矩形的判定:(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形;(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。

3、直角三角形中线性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,这是根据矩形的性质得到的关于直角三角形的重要性质。

难点分析:

1. 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形;矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形.因此,有关矩形的问题往往可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。

2. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形.作为中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点;作为轴对称图形,它的对称轴是过对称中心且垂直于一组邻边的两条直线。

3.判定一个四边形是矩形时有两条路可走:其一是先证明四边形是平行四边形,再说明有一个角是直角或者说明对角线相等;其二是证明三个角是直角或四个角都相等,判定矩形时,要分清是在平行四边形的基础上判定还是在四边形的基础上判定,然后再根据已知条件选择方法。

4.矩形的题目跟勾股定理、旋转、直角三角形结合非常密切,要有这个意识。

三、例题精选

例1 如图,在矩形ABCD中,点E是BC的中点,∠BAE=30°,AE=2,则AC的长为()。

解答:含30°角的直角三角形。基础题,勾股定理包打天下。

AE=2,BE=1,AB=,AC=。

例2如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.

(1)求证:△PHC≌△CFP;

(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.。

解答:

(1)证明方法非常多,略。

(2)可以①通过先证明是平行四边形,再加上一个直角;②证明四个角都是直角;

两个矩形面积之间关系,我们可以从以下角度依次考虑:

①两者相等;

①相加或相减=常数;

②面积之比=常数;

③面积之积=常数(这个基本不太可能,面积与面积相乘,结果的单位没有现实意义)

①利用极端思想,P在A和C时面积为0,面积相等;但是非端点时是否存在这个关系呢?

可以利用代数方法:

AC把矩形ABCD面积一分为二;

CP把矩形HPFC面积一分为二;

AP把矩形ACPE面积一分为二;

利用等量加减法,命题可证。

例3、如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;

(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;

(3)当点O在边AC上运动到什么位置,四边形AECF是矩形?

解答:(1)思考途径同例2.

利用实测法,先看看是否相等:

一个角的内外角平分线相互垂直,即∠ECF=90°;如果OE=OF,那么O是EF的中点,即直角三角形斜边上中点;因此OE=OC=OF。由角平分线加平行线性质,可得∠OFC=∠FCD=∠OCF,因此OC=OF,同理OC=OE,命题得证。

(2)由(1)的分析可知OC=EF/2=6.5(5,12,13是一组勾股数,前面的专题讲座里面提过);

(3)有一个直角,那么只要AECF是平行四边形即可。因为OE=OF,因此只要O是AC中点时,AECF就是是平行四边形(对角线相互平分的四边形是平行四边形)。

例4. 如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在A′处,

(1)求证B′E=BF

(2)若AE=a,AB=b,BF=c,请写出a,b,c之间的一个等量关系。

解答:

(1)证线段相等:全等三角形、等腰三角形、线段比例关系等;

∠DEF=∠EFB=∠EFB′。命题得证。

(2)线段数量关系除了相等、比例关系、乘积是固定值外,还有一个勾股定理的关系。如果从命题人思路分析,排第一是相等(含2个线段之和等于第三条线段)、排第二是勾股定理(三条线段。),然后是其他。

另外还要结合前面小题,那基本上都是铺垫,是线索,否则为什么要让你证明相等?:

连接BE,由折叠关系,BE= B′E=BF=c;

而B′E2=AE2+AB2=a2+b2=c2

例5、阅读以下短文,然后解决下列问题: 如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的'友好矩形',如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的'友好矩形',显然,当△ABC是钝角三角形时,其'友好矩形'只有一个.

(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的'友好平行四边形';

(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有'友好矩形',并比较这些矩形面积的大小;

(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有'友好矩形',指出其中周长最小的矩形并加以证明.

解答:

(1)照猫画虎:如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的'友好平行四边形'。

(2)有2个,面积相等(两条直角边对应的友好矩形重合)。图略。

(3)有三个,面积相等。

设矩形面积为S,AB=c,AC=b,BC=a,由题意a>b>c,对应的矩形另外一边分别为S/c、S/b 、 S/a;

则对应的周长分别为2c+2S/c,2b+2S/b,2a+2S/a;

2c+2S/c-(2b+2S/b)=2(c-b)+=(S-bc)0;(b-c>0,S<bc)

2a+2S/a-(2b+2S/b)=(ab-S)>0;(a-b>0,ab-S>0).

即AB边对应的友好矩形周长最小。

对其中S<ab作一下证明:如图

BE=CD=S/a;

在Rt△ACD中斜边AC>CD直角边,即b>S/a,命题得证。

仅当∠ACB=90°时两者相等。

其实这就是正弦定理的一个形式:三角形面积S=absin∠ACB。

例6、已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2,

请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系。请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论.

答:对图(2)的探究结论为______;对图(3)的探究结论为______;

解答:这是从特殊到一般的问题解决办法,图1相对图2而言,是一种特殊情况。

先证图1的情况(从而找到图2、图3的解决办法)。

PA2+PC2=AB2+PB2+PC2;

PB2+PD2=PB2+PC2+CD2= AB2+PB2+PC2。得证。

这个过程中我们不断利用勾股定理。

因此图2,我们也要从勾股定理着手。

过P作AD和BC的垂线,分别交于M、N。

PA2+PC2=PM2+AM2+PN2+CN2

PB2+PD2=BN2+PN2+PM2+DM2= PM2+AM2+PN2+CN2= PA2+PC2。

同理可证图3的情况。

四、练一练

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