????降央卓玛、乌兰图雅、乌兰托娅好歌连放!超级好听!赶紧收藏!高考数学知识点:二元一次不等式(组)及线性规划问题2017年中考数学之平行四边形考点解析

解题方法论——寻找问题的最小论域(1)

函数参数范围问题解题模型
每日一题:函数的综合应用(14)
百折千回恒成立
古希腊格言:人通常被看待事物的方法所困扰,而并非事物本身。
老子《道德经》的六十三章:图难于其易,为大于其细。天下难事必作于易,天下大事必作于细。
笛卡尔在《方法导论》的书中,列举了方法论的四条规则:
1. 绝不承认任何事物为真,除非我明明白白知道它确实为真;
2. 将我们所要检查的每一个难题,尽可能分解成许多部分,以作为妥善解释这些难题的要害;
笛卡尔深信,单纯的也就是明显的。这条规则告诉了我们在解决难题时,必须注意两个方面:一方面是让我们确定困难之所在及其范围;另一方面则是让我们把难题分为简单而绝对的部分,以便逐一加以观察,因为一旦发现了问题的绝对部分,则答案也就在其中了。
3. 依照次序引导我们的思想,由最简单、最容易认识的对象开始,一步一步地上升到最复杂的知识。
这条规则告诉我们,要尽量把全部事物看着是一个由绝对到相对、从简单到复杂、相互依赖、相互联系的有顺序的系列。
而对于事物的认知活动应该从最简单的事物开始,然后一层层深入,一步步推进,看其他的真理是否能够从最简单的真理推演出来,并且别的真理又从这结论推演出来。如此循环反复,依次进行。
这条规则是根据了这样一个信念:假定一切事物皆有一种程序。如果不能再事物本身找出一种自然的程序,至少也应当给它构造出一种逻辑的程序。这样,分析与综合兼用才完美。因为综合的原则是:先确定定义和公理,然后借助几何式的证明程序,由单纯的定义和公理到达复杂的知识。
其实,分析和综合原先是我们认识事物的两种基本程序。分析是倒溯的程序,旨在说明复杂观念是由许多其它观念所组成;而综合是前进的程序,旨在证明单纯观念能与其他单纯观念组合而成为另一种观念。
另外,分析和综合是彼此紧密地联系在一起的:一方面,分析的最后元素是综合的最先元素,当一个观念不能再分析时,就是分析的终极;另一方面,当一个观念不能再容纳其他观念的组合时,就是综合到了饱和点。
概括而言,分析就是由不明显推演到明显,也就是由不知到达知,或者说是把那些不为所知的最后元素当着已知,把已知的最先综合当着不知。相应地,我们在综合的时候,也同样要先假定“单纯的才是明显的,复杂的则是疑问的”,但相反的是,综合是由明显变为不明显,或者说是把那些已知的元素当着不知,把那些不知的综合当着知。
4. 处处做到周全无误的核算与普遍不漏的检查,直到足够保证没有遗漏任何一件为止。这条规则的设立,是为了辅助分析与综合的应用。它包含检验综合的步骤和清点校核分

析的部分,使在演绎时严格地遵守演绎的连贯性,不使其有越级的情形发生,以保证真理的明晰和必然。

笛卡尔指出:“如果我们希望使我们的科学完善……列举也是很需要的。”所以,详细列出那些和问题有关的全部事实,无一遗漏,就可以确保推理的正确性。

例 1.(2014 新课标 2 卷文第 21 题)已知函数 f (x) = x³ - 3x² + ax + 2 ,曲线 y =f (x) 在点(0, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2 .

(1)求 a ;

(2)证明:当 k  1 时,曲线 y = f (x) 与直线 y = kx - 2 只有一个交点.

【分析】(作出 y = f (x), y = kx - 2 的图像,发现无论k 为何值,两图像在 y 轴的负半轴有且只有一个交点。于是问题转化为证明:当 x ≤ 0 时, 有唯一交点;当 x >0 时,f (x) > kx - 2 ).

【点评】题目直接给出的是直线和曲线的位置关系,这正是命题者给我们的提示,由形切入,找到了问题的突破口,把一个复杂的零点问题化为了一个小范围的零点问题和小范围的恒成立问题。缩小了问题的范围,使得研究得以突破。

【考试中心命制过程】讨论函数零点个数常用方法是求函数的导数,讨论函数的单调性,得到函数的大致图像,进而得到结论。但本题的设置使考生不能直接求出h'(x),从而需要考生打破常规思路,这对考生运用所学知识,寻求合理的解题策略以及推理论证能力都提出了较高要求,突出选拔性。

【解题反思】关键不在于纠结两个函数的比较,直接指向目的,函数的零点,从不含参数的、

【解题反思】从图像很容易得到:以x = 0作为分界线,把定义域分为两段,结合导数的观察,再进一步对区间进行分割。启发我们可以从多个角度对研究的范围进行分割。

【解题反思】

①恒成立求整数范围,可以通过某个特殊值的函数值成立,缩小参数范围,再从大到小考查整数是否满足,发现成立的情况,把不等式恒成立求参数范围直接转化为不等式恒成立问题。

②分离参数法,需要研究出新函数最值的上界和下界,期望能把函数最值范

围缩小到(n, n+1)范围内。

③也可以对函数进行合理的分拆,把绝对的、恒成立、明显的定义域部分丢掉,剩下的部分往往也是容易和显然的。

节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

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